Objetivo nº 1: Ecuaciones de Primer grado, Potenciación, Potencia de una potencia, suma de raices e inecuaciones.

Ecuación

Una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas, en las que aparece una o más letras, llamadas incógnitas. Podemos tener ecuaciones con una incógnita, con dos incógnitas, etc. La solución de una ecuación son los números que hacen que la igualdad sea cierta, al sustituir las incógnitas por dichos números.

Ecuación de primer grado

Una ecuación de primer grado es aquella en la que las incógnitas tienen exponente 1.

Ejemplo:                                  Sustituyendo el valor de X en la Ecuación:

3X – 2 = X + 1                                          3 * (3/2) - 2 = (3/2) + 1

3X – X = 2 + 1                                          9/2 - 2 = 5/2

2X = 3                                                       5/2 = 5/2

X = 3/2.

Toda ecuación de primer grado con una incógnita se puede reducir a la forma:

ax + b = 0

Si a≠ 0, la ecuación tiene como única solución: x= - b / a

Potenciación.

 

La potenciación es una expresión matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n.

Se escribe aⁿ, y se lee: «a elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

• Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

aⁿ = ax. . . xa,

Por ejemplo: 2³ = a x a x a =8.

• cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente positivo.

• cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

Cualquier número elevado a 0 equivale a 1, excepto el caso particular de 0⁰ que, en principio, no está definido.

Propiedades de la potenciación:

 

Potencia de exponente 0

Un número (distinto de 0) elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

 

  

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

Ejemplo:

 

Potencia de exponente negativo

Un número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

 

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

Ejemplos:

 

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:

Ejemplo:

 

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b también elevado a n:

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como.

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

 

Propiedades que no cumple la potenciación

 

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes. En general:

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

Suma y Resta con Raíces:

Solo se puede sumar y restar raíces si son semejantes (tienen que tener  el mismo índice y mismo radicando).

√5 + √5 = 2√5             

3√12 + √12 = 4√12

6√20 + 10√20 − 3√20 = 13√20

Ejercicios:

1.   81√3 + 24√3 = 105√3        
2.    93√5 - 64√5 = 29√5
3.    27√5 + 34√5 - 14√5 = 47√5
4.   83√8 - 62√8 + 43√8 = 66√8
5.  3√2 - 5√3 - 2√2 + 6√3 = √2 + √3

Inecuación

Una inecuación es una expresión referida al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.      
                 

Propiedades

Las inecuaciones se rigen por las siguientes propiedades:

Tricotomía

La propiedad de la tricotomía dicta que

• Para dos números reales cualquiera, a y b, sólo se cumplirá una de las siguientes afirmaciones:
• a < b
• a = b
• a > b

 

Simetría

Las relaciones en inecuaciones pueden ser invertidas, queriendo decir esto que:

• Para dos números reales, a y b:

·         Si  a > b  entonces   b < a

·         Si  a < b   entonces   b > a

 

Transitiva

• Para tres números reales, a, b, y c:

§  Si  a > b  y  b > c  entonces   a > c

§  Si  a < b  y  b < c  entonces   a < c

§  Si  a > b  y  b = c  entonces   a > c

 

Adición y sustracción

Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, el signo de la cantidad no varía.

• Para tres números reales, a, b, y c:  

1. Si  a > b   ; entonces a + c > b + c y a – c > b - c   
2. Si  a < b     ; entonces a + c < b + c  y   a - c < b - c
   

 

Multiplicación y división

Las propiedades relativas a la multiplicación y la división:

• Para tres números reales, a, b, y c:  a x c > b x c y a / c > b / c
• Si c  es positivo   y  a > b  entonces a x c > b x c   y   a / c > b / c
• Si c  es positivo   y  a < b  entonces  a x c < b x c    y   a / c < b / c
• Si c  es negativo   y  a > b  entonces   a x c < b x c  y   a / c < b / c
• Si c  es negativo   y  a < b  entonces  a x c > b x c  y   a / c > b / c